Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-kx（k∈R）
（Ⅰ）若f（x）的最大值為0，求k的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）滿足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少存在三個不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則稱函數(shù)f（x）是等比源函數(shù)．在（1）條件下，判斷g（x）=

1+x

ef(x)

+1是否為等比源函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=ln（1+a_n）-

1

2

a_n（n∈N^*），是否?m∈N^*，使得方程sinx+a_m

3-2cosx-2sinx

=1（0＜x＜2π）無解，若不存在，請給予證明；若存在，請求出m．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,證明題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）對函數(shù)求導，令導數(shù)為0，從而求k的值；
（Ⅱ）先判斷不是等比源函數(shù)，再假設是，從而推出矛盾，從而證明；
（Ⅲ）化sinx+a_m

3-2cosx-2sinx

=1（0＜x＜2π）為a_m=

1-sinx

3-2cosx-2sinx

，設g（x）=

1-sinx

3-2cosx-2sinx

（0＜x＜2π），從而求其范圍，判斷是否存在即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，x＞-1，
則f′（x）=

1

1+x

-k在（-1，+∞）上單調(diào)遞減，
∵f（0）=0；且f（x）的最大值為0；
則f（x）在（-1，0）上存在增區(qū)間，在（0，+∞）存在減區(qū)間；
則f′（0）=1-k=0；
則k=1．
（Ⅱ）g（x）=

1+x

ef(x)

+1=

1+x

elnx-x

+1=e^x+1不是等比源函數(shù)，證明如下：
假設g（x）是等比源函數(shù)，則存在m₀，m，n∈N^*（不妨設m＜n），使得
em0+1，1+e^m₀+m，1+e^m₀+n成等比數(shù)列；
即（em0+1）×（1+e^（m₀+n））=（1+e^（m₀+m））²；
化簡得，1+e^（m₀+n）+eⁿ=e^{（m₀+2m）}+2e^m；
即1=e^{（m₀+2m）}+2e^m-e^（m₀+n）-eⁿ；
上式顯然不成立，故假設不成立；
則g（x）=e^x+1不是等比源函數(shù)．
（Ⅲ）要使sinx+a_m

3-2cosx-2sinx

=1（0＜x＜2π）有解，
則必須?m∈N^*，使a_m=

1-sinx

3-2cosx-2sinx

，
設g（x）=

1-sinx

3-2cosx-2sinx

（0＜x＜2π），
注意到g（x）≥0且g（x）=

1-sinx

3-2cosx-2sinx

=

1

1 ( 1-cosx 1-sinx )2 +1

＜1
∴0≤g（x）＜1，則為使sinx+a_m

3-2cosx-2sinx

=1（0＜x＜2π）有解，
0≤a_m＜1，
設h（x）=ln（1+x）-

1

2

x（x＞-1）
則h′（x）=

1

1+x

-

1

2

=

1-x

2(1+x)

，
當x＞1時，h′（x）＜0，當＜1時，h′（x）＞0，
∴h（x）在x=1處取極大值即最大值，h（1）=ln2-

1

2

，
即a₂=ln2-

1

2

＜1，
再令h（x）=lnx-1+

1

x

（x＞1），則h′（x）=

1

x

-

1

x2

＞0，
∴h（x）＞h（1）=0，即lnx＞1-

1

x

（x＞1），取x=2，
則ln2＞

1

2

，
∴0＜a₂＜1，符合；
∴?m=2，使方程sinx+a_m

3-2cosx-2sinx

=1（0＜x＜2π）有解．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，同時考查了恒成立的轉(zhuǎn)化與函數(shù)的最值與單調(diào)性，屬于難題．