Question

（2008•南京模擬）函數(shù)f （x）是定義在[0，1]上的函數(shù)，滿足f （x）=2f （

x

2

），且f （1）=1，在每一個區(qū)間（

1

2k

，

1

2k-1

]（k=1，2，3，…）上，y=f （x）的圖象都是斜率為同一常數(shù)m的直線的一部分，記直線x=

5

3×2n

，x=

1

2n-1

，x軸及函數(shù)y=f （x）的圖象圍成的梯形面積為a_n（n=1，2，3，…），則數(shù)列{a_n}的通項公式為

12-m

9×22n+1

．（用最簡形式表示）

Answer 1

分析：先根據(jù)f（0）=2f（0），求出f（0）及f（1）的值，歸納總結(jié)得f（ 

1

2k-1

）=

1

2k-1

，然后當 

1

2

＜x≤

1

2k-1

時，f(x)=

1

2k-1

+m(x-

1

2k-1

)
，利用體形的面積公式可得ak=

1

2

[

1

2k-1

+

1

2k-1

+m（

5

3×2k

-

1

2k-1

）]×(

1

2k-1

-

5

3×2k

)=

12-m

9×22k+1

，從而可求

解答：解：由f（0）=2f（0），得f（0）=0
由 f（1）=2f（

1

2

）及f（1）=1，得  f（

1

2

）=

1

2

f（1）=

1

2

同理，f（

1

4

）=

1

2

f(

1

2

)=

1

4

歸納得  f(

1

2k-1

) =

1

2k-1

當 x∈(

1

2k

，

1

2k-1

 ]時，1f(x)=

1

2k-1

+m(x-

1

2k-1

)
ak=

1

2

[

1

2k-1

+

1

2k-1

+m（

5

3×2k

-

1

2k-1

）]×(

1

2k-1

-

5

3×2k

)=

12-m

9×22k+1

∴an=

12-m

9×22n+1

故答案為：

12-m

9×22n+1

點評：本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力，屬于綜合性試題，有一定的難度．