Question

如圖，已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0），圓C₂與y軸相切，其圓心是拋物線的焦點，點M是拋物線的準線與x軸的交點，點N是圓C₂上的任意一點，且線段MN長度的最大值為3，直線l過拋物線C₁的焦點，與C₁交于A、D兩點，與C₂交于B、C兩點．
（Ⅰ）求C₁與C₂的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=3

2

（其中O為坐標原點），且|AB|，|BC|，|CD|依次成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的直線l；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,圓的標準方程,拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意可得，|MN|的長度最大為

3

2

p，可求得p的值，即可求出C₁與C₂的方程；
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線l，并設其方程為my=x-1，聯(lián)立方程組求得A、B、C、D的坐標，進而由k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=3

2

與|AB|，|BC|，|CD|依次成等差數(shù)列聯(lián)立求得m的值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當點N為圓C₂與x軸的另一交點時，|MN|的長度最大為

3

2

p，所以

3

2

p=3 ⇒ p=2，
所以拋物線C₁的方程為y²=4x；
圓C₂的方程為（x-1）²+y²=1．     
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線l，并設其方程為my=x-1，A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），B（x₃，y₃），C（x₄，y₄）；
由

my=x-1 y2=4x

⇒y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4；（※）
相應的x1x2=

y 2 1

4

•

y 2 2

4

=

(y1y2)2

16

=1，
所以kOA+kOD=

y1

x1

+

y2

x2

=

y1x2+x1y2

x1x2

=

y1y2(y1+y2)

x1x2

=-4m；      
由

my=x-1 (x-1)2+y2=1

可解得

x=1+ m 1+m2 y= 1 1+m2

或

x=1- m 1+m2 y=- 1 1+m2

；
于是B(1+

m

1+m2

，

1

1+m2

)，C(1-

m

1+m2

，-

1

1+m2

)，k_OB+k_OC=-2m；   
因此，由kOA+kOB+kOC+kOD=3

2

得-6m=3

2

，∴m=-

2

2

；
此時，直線l的方程為-

2

2

y=x-1，結(jié)合（※）可求得|AD|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=6；
而|BC|=2，所以|AD|=3|BC|．
又|AB|，|BC|，|CD|依次成等差數(shù)列?|AB|+|CD|=2|BC|?|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=3|BC|．
故存在直線滿足要求，且方程為

2

x+y-

2

=0．

點評：本題主要考查直線與拋物線的位置關系，考查學生分析問題、解決問題的能力及運算求解能力，屬于難題．