Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x-sinx，其中x∈[0，2π]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值．

Answer 1

分析：先求導(dǎo)數(shù)，因為是求出單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的最值．

解答：解：∵函數(shù)y=

1

2

（x-2sinx），∴y′=

1

2

（1-2cosx）．
令y′＜0，可得 cosx＞

1

2

．
又 x∈[0，2π]，故當x∈（0，

π

3

）或x∈（

5π

3

，2π）時，y′＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減．
同理可得，x∈（

π

3

，

5π

3

） 時，y′＞0，函數(shù)y單調(diào)遞增．
故最小值在x=

π

3

 或x=2π處取得，
而當x=

π

3

時，函數(shù)f（x）的值等于

π-3 3

6

，當x=2π時，函數(shù)f（x）的值等于π，
故當x=

π

3

時，函數(shù)f（x）有最小值等于

π-3 3

6

．
由題意可得最大值在x=0 或x=

5π

3

處取得，
而當x=0時，函數(shù)f（x）的值等于0，當x=

5π

3

時，函數(shù)f（x）的值等于

5π+3 3

6

，
故當x=

5π

3

時，函數(shù)f（x）取得最大值等于

5π+3 3

6

．
綜上可得，當x=

π

3

時，函數(shù)f（x）有最小值等于

π-3 3

6

；
當x=

5π

3

時，函數(shù)f（x）取得最大值等于

5π+3 3

6

．

點評：本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，尤其要注意三角函數(shù)的求導(dǎo)公式以及函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．