【題目】已知:函數(shù).

1)求函數(shù)在點處的切線方程;

2)求函數(shù)上的最大值;

3)當時,試討論函數(shù)的零點個數(shù).

【答案】(1)(2)答案不唯一,具體見解析(3)答案不唯一,具體見解析

【解析】

(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線的斜率,由點斜式可求得切線方程;

(2)求導后,分類討論可求得函數(shù)上的最大值;

(3)求導后,對分類討論,利用零點存在性定理可求得.

1)因為,所以,所以,

∴函數(shù)在點處的切線方程為:;

2)因為,所以,

①當,上單調(diào)遞增;此時的最大值為;

,令,

,即時,上恒成立,所以上單調(diào)遞增,

,

,即時,

時,,單調(diào)遞增;

時,,單調(diào)遞減,

綜上所述:

①當時,的最大值為;

②當時,的最大值為;

3)由題意知:,則,

上恒成立,

上單調(diào)增,

,

由零點存在性定理可知:上存在唯一的零點,即在上存在唯一零點;

,

,則,

此時,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以上取得最小值,

,

,得,

單調(diào)增,在上單調(diào)減,得,

時,,此時函數(shù)有且只有一個零點,

,時,,

所以上為增函數(shù),所以,即,

,有唯一的零點

下面先證:

,,得:,

時,單調(diào)遞減,

時,單調(diào)遞增,

,即得證(當且僅當時取等號);

,

,

由零點存在性定理可知:上存在唯一零點,

有兩個零點.

時,,

又有,

∴由零點存在性定理可知:上各存在唯一零點.

所以有兩個零點.

綜上所述:時,有一個零點,

時,有兩個零點.

練習冊系列答案
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年份

2014

2015

2016

2017

2018

年份代號

1

2

3

4

5

人均純收入

5

4

7

8

10

1)求關于的線性回歸方程;

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40歲及以下

40歲以上

合計

基本滿意

15

30

45

很滿意

25

10

35

合計

40

40

80

(1)根據(jù)列聯(lián)表,能否有99%的把握認為滿意程度與年齡有關?

(2)為了幫助年齡在40歲以下的未購房的8名員工解決實際困難,該企業(yè)擬員工貢獻積分(單位:分)給予相應的住房補貼(單位:元),現(xiàn)有兩種補貼方案,方案甲:;方案乙:.已知這8名員工的貢獻積分為2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,將采用方案甲比采用方案乙獲得更多補貼的員工記為“類員工”.為了解員工對補貼方案的認可度,現(xiàn)從這8名員工中隨機抽取4名進行面談,求恰好抽到3名“類員工”的概率。

附:,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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