Question

【題目】已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線(xiàn).

（1）求曲線(xiàn)的方程；

（2）若雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)即為曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，直線(xiàn)為的一條漸近線(xiàn).

①.求雙曲線(xiàn)C的方程；

②.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（點(diǎn)與的頂點(diǎn)不重合），當(dāng)，且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

試題分析：（1）由兩圓相切可得到圓心距和半徑的關(guān)系，結(jié)合橢圓定義可知曲線(xiàn)為橢圓，進(jìn)而可求得方程；（2）①由曲線(xiàn)E的方程求得右頂點(diǎn)，從而得到曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)，結(jié)合漸近線(xiàn)可求得雙曲線(xiàn)中的值，從而得到雙曲線(xiàn)方程；②由向量關(guān)系及可求得點(diǎn)的關(guān)系式，將直線(xiàn)方程及雙曲線(xiàn)聯(lián)立轉(zhuǎn)化為二次方程，利用韋達(dá)定理得到，結(jié)合可求得的值

試題解析：（1）因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以

，………………………1分

由橢圓的定義可知，曲線(xiàn)C是以M，N為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的

橢圓，…3分 ( 求出給1分，求出得1分) 則此方程為.…4分

（2）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，由橢圓，求得兩焦點(diǎn)為，

所以對(duì)于雙曲線(xiàn)，…… 5分 又為雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，

所以，解得，… 6分 故雙曲線(xiàn)的方程.…… 7分

（3）解法一：由題意知直線(xiàn)的斜率存在且不等于零.

設(shè)的方程：，，則，

，……… 8分

所以從而

在雙曲線(xiàn)上，，………………9分

， .

同理有………………………10分

若，則直線(xiàn)過(guò)頂點(diǎn)，不合題意，

是二次方程的兩根.，

，……11分 此時(shí).所求的坐標(biāo)為.………… 12分

解法二：由題意知直線(xiàn)的斜率存在且不等于零

設(shè)的方程：，則.，.，，，

… 8分

又，，即，……9分

將代入，得，………………10分

，否則與漸近線(xiàn)平行..………11分

，，.………………………12分