Question

16．在△ABC中，D、E分別是AB，AC的中點，M是直線DE上的動點，若△ABC的面積為1，則$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由三角形的面積公式，S_△ABC=2S_△MBC，則S_△MBC=$\frac{1}{2}$，根據(jù)三角形的面積公式及向量的數(shù)量積，利用余弦定理，即可求得則$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求得則$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值；
方法二：利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值．

解答 解：∵D、E是AB、AC的中點，
∴A到BC的距離=點A到BC的距離的一半，
∴S_△ABC=2S_△MBC，而△ABC的面積1，則△MBC的面積S_△MBC=$\frac{1}{2}$，
S_△MBC=$\frac{1}{2}$丨MB丨×丨MC丨sin∠BMC=$\frac{1}{2}$，
∴丨MB丨×丨MC丨=$\frac{1}{sin∠BMC}$．
∴$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$=丨MB丨×丨MC丨cos∠BMC=$\frac{cos∠BMC}{sin∠BMC}$．
由余弦定理，丨BC丨²=丨BM丨²+丨CM丨²-2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC，
顯然，BM、CM都是正數(shù)，
∴丨BM丨²+丨CM丨²≥2丨BM丨×丨CM丨，
∴丨BC丨²=丨BM丨²+丨CM丨²-2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=2×$\frac{1}{sin∠BMC}$-2×$\frac{cos∠BMC}{sin∠BMC}$．．
∴$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²≥$\frac{cos∠BMC}{sin∠BMC}$+2×$\frac{1}{sin∠BMC}$-2×$\frac{cos∠BMC}{sin∠BMC}$=$\frac{2-cos∠BMC}{sin∠BMC}$，
方法一：令y=$\frac{2-cos∠BMC}{sin∠BMC}$，則y′=$\frac{1-2cos∠BMC}{si{n}^{2}∠BMC}$，令y′=0，則cos∠BMC=$\frac{1}{2}$，此時函數(shù)在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)減，在（$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)增，
∴cos∠BMC=$\frac{1}{2}$時，$\frac{2-cos∠BMC}{sin∠BMC}$取得最小值為$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值是$\sqrt{3}$，
方法二：令y=$\frac{2-cos∠BMC}{sin∠BMC}$，則ysin∠BMC+cos∠BMC=2，則$\sqrt{{y}^{2}+1}$sin（∠BMC+α）=2，tanα=$\frac{1}{y}$，
則sin（∠BMC+α）=$\frac{2}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$≤1，解得：y≥$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值是$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了向量的線性運算、數(shù)量積運算、輔助角公式，余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．