Question

8．在△ABC 中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asin Acos C+csin AcosA=$\frac{1}{3}$c
（1）若c=1，sin C=$\frac{1}{3}$，求△ABC的面積S
（2）若D 是AC的中點•且cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，BD=$\sqrt{26}$，求△ABC的最短邊的邊長．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理求得sinAsinB=$\frac{1}{3}$sinC，即bsinA=$\frac{1}{3}$，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得△ABC的面積S；
（2）由同角三角函數(shù)基本關系式可求sinB，結合已知可求A，利用正弦定理，余弦定理可求三邊長，即可得解．

解答 解：（1）由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
則a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴sinAsinAcosC+sinCsinAcosA=$\frac{1}{3}$sinC，
則sinAsin（A+C）=$\frac{1}{3}$sinC，
∴sinAsinB=$\frac{1}{3}$sinC，則sinA×$\frac{2R}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{c}{2R}$，
∴bsinA=$\frac{1}{3}$，
△ABC的面積S，S=$\frac{1}{2}$×bcsinA=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
△ABC的面積S=$\frac{1}{6}$；
（2））由cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，…7分
∵C=π-（A+B），
∴3sinA=$\sqrt{5}$sin（A+B），則sinA=cosA，得tanA=1，…8分
∴A=$\frac{π}{4}$，則c²+$\frac{1}{4}$b²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$bc=26，…9分
∵sinA×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{1}{3}$sinC，且sinB×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$sinC，…10分
∴c=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，b=$\frac{\sqrt{2}}{3}$c=$\frac{\sqrt{10}}{5}$a，
∴$\frac{9}{5}$a²+$\frac{1}{10}$a²-$\frac{3}{5}$a²=26，…11分
∴解得：a=2$\sqrt{5}$，
∴b=2$\sqrt{2}$，c=6，
∴△ABC的最短邊的邊長為2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關系式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．