雙曲線
x2
a2
-
y2
4
=1
的左、右焦點分別為F1、F2,P是雙曲線上一點,PF1的中點在y軸上,線段PF2的長為
4
3
,則該雙曲線的離心率為( �。�
分析:根據(jù)題意,得OQ是△PF1F2的中位線,得PF2⊥F1F2,Rt△PF1F2中算出|PF1|=
4
3
+2a,|F1F2|=2c=2
a2+4
,利用勾股定理列出關(guān)于a的方程,解出a=3,從而c=
a2+4
=
13
,得到雙曲線的離心率.
解答:解:∵PF1的中點Q在y軸上,O為F1F2的中點
∴OQ是△PF1F2的中位線,得OQ∥PF2,
由此可得PF2⊥F1F2,
根據(jù)雙曲線的定義,得|PF1|=|PF2|+2a=
4
3
+2a,
而|F1F2|=2c=2
a2+4

∴Rt△PF1F2中,|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,
16
9
+4(a2+4)=(
4
3
+2a)2,解之得a=3
∴c=
a2+4
=
13
,得雙曲線的離心率e=
c
a
=
13
3

故選:D
點評:本題給出雙曲線一條焦半徑的中點恰好在y軸上,求雙曲線的離心率,著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、基本概念和簡單幾何性質(zhì)等知識,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若點O和點F(-2,0)分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1(a>0)
的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則
OP
FP
的取值范圍為( �。�
A、[3-2
3
,+∞)
B、[3+2
3
,+∞)
C、[-
7
4
,+∞)
D、[
7
4
,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-y2=1(a>0)
的一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
,則a等于
 
,該雙曲線的離心率為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)圓C的圓心為雙曲線
x2
a2
-y2=1(a>0)
的左焦點,且與此雙曲線的漸近線相切,若圓C被直線l:x-y+2=0截得的弦長等于
2
,則a等于(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若點O和點F(-2,0)分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1(a>0)的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的一點,并且P點與右焦點F′的連線垂直x軸,則線段OP的長為( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-y2=1
的一個焦點坐標(biāo)為(-
3
,0)
,則其漸近線方程為( �。�
A、y=±
2
x
B、y=±
2
2
x
C、y=±2x
D、y=±
1
2
x

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