Question

【題目】若實數(shù)數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．

（Ⅰ）若數(shù)列是數(shù)列，且，求，的值；

（Ⅱ）求證：若數(shù)列是數(shù)列，則的項不可能全是正數(shù)，也不可能全是負數(shù)；

（Ⅲ）若數(shù)列為數(shù)列，且中不含值為零的項，記前項中值為負數(shù)的項的個數(shù)為，求所有可能取值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）的取值集合為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由遞推公式可得，，，再由可得，，；（Ⅱ）此命題是否定性命題，可用反證法證明，即假設(shè)數(shù)列中各項全是正數(shù)（或全是負數(shù)），由遞推公式推出矛盾即可；（Ⅲ）這類問題的數(shù)列應(yīng)該是有一定的規(guī)律，最簡單的就是周期數(shù)列，首先由（Ⅱ）可知數(shù)列中項既有負數(shù)也有正數(shù)，

且最多連續(xù)兩項都是負數(shù)，最多連續(xù)三項都是正數(shù)．因此存在最小的正整數(shù)滿足（）．設(shè)，則由遞推公式計算，最后可知數(shù)列是周期為9的周期數(shù)列，由剛才的計算可知在這9個數(shù)中有6個正數(shù)，3個負數(shù)，接著只要對分別討論（關(guān)鍵是中有幾個負數(shù)）．

試題解析：（Ⅰ）因為是數(shù)列，且

所以，

所以,

所以，解得,

所以．

（Ⅱ）假設(shè)數(shù)列的項都是正數(shù)，即，

所以，，與假設(shè)矛盾．

故數(shù)列的項不可能全是正數(shù),

假設(shè)數(shù)列的項都是負數(shù)，

則而,與假設(shè)矛盾,

故數(shù)列的項不可能全是負數(shù)．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知數(shù)列中項既有負數(shù)也有正數(shù)，

且最多連續(xù)兩項都是負數(shù)，最多連續(xù)三項都是正數(shù)．

因此存在最小的正整數(shù)滿足（）．

設(shè)，則

．

,

故有, 即數(shù)列是周期為9的數(shù)列

由上可知這9項中為負數(shù)，這兩項中一個為正數(shù)，另一個為負數(shù)，其余項都是正數(shù)．

因為,

所以當時，;

當時，這項中至多有一項為負數(shù)，而且負數(shù)項只能是,

記這項中負數(shù)項的個數(shù)為，

當時，若則，故為負數(shù)，

此時，；

若則，故為負數(shù)．

此時，，

當時，必須為負數(shù)，，,

綜上可知的取值集合為．