Question

【題目】如圖，在以、、、、、為頂點的五面體中，平面平面，，四邊形為平行四邊形，且.

（1）求證：；

（2）若，，直線與平面所成角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析：

（1）過作交于，連接，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，則.則，，為等腰直角三角形，據(jù)此可得平面，.

（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題設可得平面的法向量為，平面的法向量為，則銳二面角的余弦值為 .

試題解析：

（1）過作交于，連接，由平面平面，得平面，因此.

∴，，，

∴，∴，

由已知得為等腰直角三角形，因此，又，

∴平面，∴.

（2）∵，平面，平面，∴平面，

∵平面平面，∴，

由（1）可得，，兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題設可得，進而可得，，，，，，

設平面的法向量為，則，即，

可取，

設平面的法向量為，則，即，

可取，

則 ，

∴二面角的余弦值為.