【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)存在兩個極值點且滿足,求的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)求出,分五種情況討論的范圍,分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(2)由(1)可知,,不等式化為,令,則,,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,證明當時,不等式不成立,當時,可證明,適量題意,即.

試題解析:(1)定義域為,

,

時,恒成立,

時,由,

于是結合函數(shù)定義域的分析可得:

時,函數(shù)在定義域上是增函數(shù);

時,函數(shù)定義域為,此時有,

于是上是增函數(shù),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),

時,函數(shù)定義域為,

于是上為減函數(shù),在上為增函數(shù),

時,函數(shù)定義域為,此時有,

于是上是增函數(shù),在上是減函數(shù),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),

時,函數(shù)定義域為,

于是上是增函數(shù),在上是增函數(shù).

(2)由(1)知存在兩個極值點時,的取值范圍是,

由(1)可知,,

;

不等式化為,

,所以

,,

時,,,所以,不合題意;

時,,,

所以上是減函數(shù),所以,適量題意,即.

綜上,若,此時正數(shù)的取值范圍是.

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