Question

7．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E為BB₁的中點，AA₁=2AB．
（1）求證：平面AEC₁⊥平面A₁C₁CA；
（2）求二面角A₁-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC中點F，連A₁C交AC₁于O，連OE，OF，證明OEBF是平行四邊形，可得BF∥OE，證明BF⊥平面A₁C₁CA，可得OE⊥平面A₁C₁CA，即可證明平面AEC₁⊥平面A₁C₁CA；
（2）求出平面AEC、平面AEA₁的法向量，即可求二面角A₁-AE-C的余弦值．

解答 （1）證明：取AC中點F，連A₁C交AC₁于O，連OE，OF，則OF∥CC₁，OF=$\frac{1}{2}$CC₁，
∵E為BB₁的中點，∴EB∥CC₁，EB=$\frac{1}{2}$CC₁，
∴OF∥BE，OF=BE
∴OEBF是平行四邊形，
∴BF∥OE．
∵BF⊥AC，BF⊥AA₁，AC∩AA₁=A，
∴BF⊥平面A₁C₁CA，
∴OE⊥平面A₁C₁CA，
∵OE?平面AEC₁，
∴平面AEC₁⊥平面A₁C₁CA；
（2）解：建立如圖所示坐標系，設(shè)AB=2，則A（-1，0，0），E（0，$\sqrt{3}$，2），C（1，0，0），A₁（-1，0，4），
設(shè)平面AEC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則
∵$\overrightarrow{AE}$=（1，$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，0，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y+2z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$，∴平面AEC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，2，$\sqrt{3}$）
同理平面AEA₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，0），
所以，二面角A₁-AE-C的余弦值為$\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{7}•2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角A₁-AE-C的余弦值，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．