Question

12．已知點F為拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點，點A（2，m）在拋物線E上，且到原點的距離為2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）已知點G（-1，0），延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{m^2}=4p\\ \sqrt{4+{m^2}}=2\sqrt{3}\end{array}\right.$，求出p，即可求拋物線E的方程；
（Ⅱ）證明k_GA+k_GB=0，從而∠AGF=∠BGF，這表明點F到直線G A，G B的距離相等，即可證明結(jié)論．

解答 解：（I）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{m^2}=4p\\ \sqrt{4+{m^2}}=2\sqrt{3}\end{array}\right.$，…（2分）
解得p=2，…（3分）
所以拋物線 E的方程為y²=4x．                          …（4分）
（II）因為點 A（2，m）在拋物線 E：y²=4x上，
所以$m=±2\sqrt{2}$，…（5分）
由拋物線的對稱性，不妨設(shè)${A}（{2，2\sqrt{2}}）$．
由${A}（{2，2\sqrt{2}}）$，F(xiàn)（1，0）可得直線 AF的方程$y=2\sqrt{2}（{x-1}）$．…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=2\sqrt{2}（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得2x²-5x+2=0，
解得x=2或$x=\frac{1}{2}$，從而${B}（{\frac{1}{2}，-\sqrt{2}}）$．                   …（7分）
又G（-1，0），
所以${k_{G{A}}}=\frac{{2\sqrt{2}-0}}{{2-（{-1}）}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，…（8分）${k_{G{B}}}=\frac{{-\sqrt{2}-0}}{{\frac{1}{2}-（{-1}）}}=-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，…（9分）
所以k_GA+k_GB=0，從而∠AGF=∠BGF，…（10分）
這表明點F到直線G A，G B的距離相等，…（11分）
故以F為圓心且與直線G A相切的圓必與直線G B相切．       …（12分）

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．