Question

已知.

（1）求函數(shù)在上的最小值；

（2）對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：對一切，都有成立.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；

（3）設(shè)，則，

證得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，

從而對一切，都有成立.

【解析】

試題分析：（1）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052308310275101261/SYS201305230831428291340572_DA.files/image010.png">，，

當(dāng)單調(diào)遞減，

當(dāng)，單調(diào)遞增.                     2分

①無解；                                  3分

②，即時(shí)，

③，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

所以

（2），則，對一切恒成立

設(shè)，則

單調(diào)遞減，單調(diào)遞增     8分

在上，有唯一極小值，即為最小值.

所以，因?yàn)閷σ磺?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052308310275101261/SYS201305230831428291340572_DA.files/image034.png">恒成成立，

所以；                                          9分

（3）問題等價(jià)于證明，

由（1）可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，

設(shè)，則，

易得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，                11分

從而對一切，都有成立.                   12分

考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，不等式的證明。

點(diǎn)評：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，（2）（3）涉及恒成立問題、不等式證明問題，均通過轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，這種思路是一般解法，在研究函數(shù)最值的過程中，再次利用導(dǎo)數(shù)。