(文科做)已知:如圖,在空間四邊形ABCD中,AB⊥CD且AC⊥BD,求證:AD⊥BC.
分析:作AP垂直于平面BDC,P是垂足,連接CP,DP,BP,CP,DP,BP分別是AC,AD,AB在平面ABC內(nèi)的射影,由AC⊥BD,AB⊥CD,知點P是△BDC的垂心.故DP垂直于BC.由三垂線定理,知AD⊥BC.
解答:解:作AP垂直于平面BDC,P是垂足,連接CP,DP,BP,
CP,DP,BP分別是AC,AD,AB在平面BCD內(nèi)的射影,
∵AC⊥BD,
∴由三垂線定理的逆定理知BD⊥CP.
∵AB⊥CD,
∴由三垂線定理的逆定理知CD⊥BP
∴點P是△BDC的垂心.
∴DP垂直于BC.
由三垂線定理,知AD⊥BC.
點評:本題考查空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題.解題時要認真審題,仔細解答,注意三垂線定理及其逆定理的靈活運用.
練習(xí)冊系列答案
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(2011•鹽城模擬)(本題文科學(xué)生做)如圖,在平面直角坐標系xoy中,已知F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),A(0,8),直線y=t(0<t<8)與線段AF1、AF2分別交于點P、Q.
(Ⅰ)當(dāng)t=3時,求以F1,F(xiàn)2為焦點,且過PQ中點的橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點Q作直線QR∥AF1交F1F2于點R,記△PRF1的外接圓為圓C.
①求證:圓心C在定直線7x+4y+8=0上;
②圓C是否恒過異于點F1的一個定點?若過,求出該點的坐標;若不過,請說明理由.

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(2006•蚌埠二模)已知等差數(shù)列{an}的首項為p,公差為d(d>0).對于不同的自然數(shù)n,直線x=an與x軸和指數(shù)函數(shù)f(x)=(
12
)x
的圖象分別交于點An與Bn(如圖所示),記Bn的坐標為(an,bn),直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面積分別為s1和s2,一般地記直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面積為sn
(1)求證數(shù)列{sn}是公比絕對值小于1的等比數(shù)列;
(2)設(shè){an}的公差d=1,是否存在這樣的正整數(shù)n,構(gòu)成以bn,bn+1,bn+2為邊長的三角形?并請說明理由;
(3)(理科做,文科不做)設(shè){an}的公差d=1,是否存在這樣的實數(shù)p使得(1)中無窮等比數(shù)列{sn}各項的和S>2010?如果存在,給出一個符合條件的p值;如果不存在,請說明理由.(參考數(shù)據(jù):210=1024)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(文科做)已知:如圖,在空間四邊形ABCD中,AB⊥CD且AC⊥BD,求證:AD⊥BC.
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(本題文科學(xué)生做)如圖,在平面直角坐標系xoy中,已知F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),A(0,8),直線y=t(0<t<8)與線段AF1、AF2分別交于點P、Q.
(Ⅰ)當(dāng)t=3時,求以F1,F(xiàn)2為焦點,且過PQ中點的橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點Q作直線QR∥AF1交F1F2于點R,記△PRF1的外接圓為圓C.
①求證:圓心C在定直線7x+4y+8=0上;
②圓C是否恒過異于點F1的一個定點?若過,求出該點的坐標;若不過,請說明理由.

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