Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，若數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)按如下規(guī)則排列：$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，\frac{1}{4}，\frac{2}{4}，\frac{3}{4}，\frac{1}{5}，\frac{2}{5}，\frac{3}{5}，\frac{4}{5}，…，\frac{1}{n}，\frac{2}{n}，…，\frac{n-1}{n}$，…若存在正整數(shù)k，使S_k＜100，S_k+1≥100，則a_k=$\frac{14}{21}$，k=203．

Answer 1

分析 由數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)，構(gòu)建新數(shù)列b_n，表示數(shù)列中每一組的和，則b_n=$\frac{n}{2}$是個(gè)等差數(shù)列，記b_n的前n項(xiàng)和為T_n，利用等差數(shù)列的和知道T₁₉=95，T₂₀=105，利用S_k＜100，S_k+1≥100，可得k值，即得答案．

解答 解：由題意可得，分母為2的有一個(gè)，分母為3的有2個(gè)，分母為4的有3個(gè)，分母為5的有4個(gè)，分母為6的有5個(gè)，…
把原數(shù)列分組，分母相同的為一組，發(fā)現(xiàn)他們的個(gè)數(shù)是1，2，3，4，5…
構(gòu)建新數(shù)列b_n，表示數(shù)列中每一組的和，則b_n=$\frac{n}{2}$是個(gè)等差數(shù)列，記b_n的前n項(xiàng)和為T_n，
利用等差數(shù)列的和知道T₁₉=95，T₂₀=105，
所以a_k定在$\frac{1}{21}$，$\frac{2}{21}$，…，$\frac{20}{21}$中，
又因?yàn)镾_k＜100，S_k+1＞100，
所以T₁₉+$\frac{1}{21}$+…+$\frac{13}{21}$＜100，T₁₉+$\frac{1}{21}$+…+$\frac{12}{21}$+$\frac{14}{21}$＞100 
故第k項(xiàng)為a_k=$\frac{13}{21}$．k=1+2+…+20+13=203，
故答案為：$\frac{13}{21}$，203．

點(diǎn)評(píng) 本題目主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)列的觀察能力，找出數(shù)列之間的相互關(guān)系，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和計(jì)算公式，根據(jù)已有條件計(jì)算．考查學(xué)生的計(jì)算能力．