Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c．
（I）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（II）設(shè)a=b=4，若函數(shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，進(jìn)而得到所求切線的方程；
（II）由f（x）=0，可得-c=x³+4x²+4x，由g（x）=x³+4x²+4x，求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極值，由-c介于極值之間，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2ax+b，
可得y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率為k=f′（0）=b，
切點(diǎn)為（0，c），可得切線的方程為y=bx+c；
（II）設(shè)a=b=4，即有f（x）=x³+4x²+4x+c，
由f（x）=0，可得-c=x³+4x²+4x，
由g（x）=x³+4x²+4x的導(dǎo)數(shù)g′（x）=3x²+8x+4=（x+2）（3x+2），
當(dāng)x＞-$\frac{2}{3}$或x＜-2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)-2＜x＜-$\frac{2}{3}$時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有g(shù)（x）在x=-2處取得極大值，且為0；
g（x）在x=-$\frac{2}{3}$處取得極小值，且為-$\frac{32}{27}$，
由函數(shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，可得-$\frac{32}{27}$＜-c＜0，
解得0＜c＜$\frac{32}{27}$，
則c的取值范圍是（0，$\frac{32}{27}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得極值，考查化簡(jiǎn)整理的圓能力，屬于中檔題．