Question

20．已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）e^x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若x∈[-2，a]，-2＜a＜1，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)a＞-2，求證：f（a）＞$\frac{13}{e^2}$；
（3）設(shè)h（x）=f（x）+（x-2）e^x，x∈（1，+∞），是否存區(qū)間[m，n]⊆（1，+∞），使得x∈[m，n]時，y=h（x）的值域也是[m，n]？若存在，請求出一個這樣的區(qū)間； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用導(dǎo)函數(shù)值的正負判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，從而證明f（a）＞$\frac{13}{e^2}$；
（3）通過對函數(shù)函數(shù)y=h（x）的定義域和值域的研究，是否存區(qū)間[m，n]⊆（1，+∞），使得x∈[m，n]時，y=h（x）的值域也是[m，n]，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x，x∈[-2，a]，-2＜a＜1，

x	（-∞，0）	（0，1）	（1，+∞）
f′（x）	+	-	+

由表知道：①-2＜a≤0時，x∈（-2，a），時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-2，a）；
②0＜a＜1，時，x∈（-2，0）時，f′（x）＞0，x∈（0，a）時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-2，0），單調(diào)減區(qū)間為（0，a）；
（2）證明：f（a）=（a²-3a+3）e^a，a＞-2，f′（a）=（a²-a）e^a，=a（a-1）e^a，a＞-2，

a	（-2，0）	（0，1）	（1，+∞）
f′（a）	+	-	+

f（a）的最小值，f（a）_極小值=f（1）=f（1）=e，
∴f（1）-f（-2）=e-$\frac{13}{{e}^{2}}$=$\frac{{e}^{3}-13}{{e}^{2}}$=$\frac{（\frac{5}{2}）-13}{{e}^{2}}$＞0，
∴f（1）＞f（-2），
由表知：a∈[0，+∞）時，f（a）≥f（1）＞f（-2），a∈（-2，0）時，f（a）＞f（-2），
∴a＞-2時，f（a）＞f（-2），即f（a）＞$\frac{13}{{e}^{2}}$；
（3）h（x）=f（x）+（x-2）e^x=（x²-2x+1）e^x，x∈（1，+∞），
∴h′（x）=（x²-1）e^x，x∈（1，+∞），
∴x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，
∴y=h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
函數(shù)y=h（x）存在存區(qū)間[m，n]⊆（1，+∞），使得x∈[m，n]時，y=h（x）的值域也是[m，n]?$\left\{\begin{array}{l}{n＞m＞1}\\{h（m）=m}\\{h（\\;n）=n}\end{array}\right.$?關(guān)于x的方程h（x）=x在（1，+∞）有兩個不相等的實數(shù)根，
令H（x）=h（x）-x=（x²-2x+1）e^x-x，x∈（1，+∞），
則H′（x）=（x²-1）e^x-1，x∈（1，+∞），H″（x）=（x²+2x-1）e^x，x∈（1，+∞），
∴x∈（1，+∞），時，H″（x）=（x²+2x-1）e^x＞0，
∴H′（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
H′（1）=-1＜0，H′（2）=3e²-1＞0，且y=H′（x）在[1，2]上連續(xù)，
∴?x₀∈（1，2），使得H′（x₀）=0，
∴x∈（1，x₀）時，H′（x）＜0，x∈（x₀，+∞）時，H′（x）＞0，
∴函數(shù)y=H（x）在（1，x₀）上是減函數(shù)，在（x₀，+∞）上是增函數(shù)，
∴H（1）=-1＜0，
∴x∈（1，x₀），H′（x）＜0，
∴函數(shù)y=H（x）在（1，+∞）至多有一個零點，即關(guān)于x的方程h（x）=x在（1，+∞）至多有一個實數(shù)根，
∴函數(shù)y=h（x）是不存在這樣的區(qū)間．

點評 本題考查了導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的關(guān)系，本題思維難度大，計算量大，屬于難題．