Question

19．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，t）（t∈R），$\overrightarrow{n}$=（sinx-cosx，1），函數(shù)y=f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=g（x）的圖象且y=g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]內(nèi)的最大值為$\sqrt{2}$．
（1）求t的值及y=f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，π]，求y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，并化簡(jiǎn)即可得出f（x）=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+t-1$，進(jìn)而可求出g（x）=$\sqrt{2}sin2x+t-1$，根據(jù)g（x）在$[0，\frac{π}{4}]$內(nèi)的最大值即可求得t=1，并可求出f（x）的最小正周期；
（2）先寫(xiě)出$f（x）=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，根據(jù)x的范圍便可求出$2x-\frac{π}{4}$的范圍，而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象便可得出f（x）單調(diào)遞增時(shí)2x-$\frac{π}{4}$的范圍，進(jìn)而求出x的范圍，即得出y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）$y=f（x）=\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2cosx（sinx-cosx）+t$=sin2x-cos2x+t-1=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+t-1$；
∴$y=g（x）=\sqrt{2}sin[2（x+\frac{π}{8}）-\frac{π}{4}]+t-1$=$\sqrt{2}sin2x+t-1$；
$x=\frac{π}{4}$時(shí)，g（x）取最大值$\sqrt{2}+t-1=\sqrt{2}$；
∴t=1；
且f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}=π$；
（2）$f（x）=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$；
x∈[0，π]時(shí)，$2x-\frac{π}{4}∈[-\frac{π}{4}，\frac{7π}{4}]$；
∴$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}$，或$\frac{3π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{7π}{4}$時(shí)，即$0≤x≤\frac{3π}{8}$，或$\frac{7π}{8}≤x≤π$時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；
∴y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[0，\frac{3π}{8}]$，$[\frac{7π}{8}，π]$．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角的正余弦公式，兩角差的正弦公式，以及三角函數(shù)圖象的平移變換，熟悉正弦函數(shù)的圖象，增函數(shù)及增區(qū)間的定義．