【題目】如圖,在三棱錐中,為等邊三角形,,面積是面積的兩倍,點在側(cè)棱上.
(1)若,證明:平面平面;
(2)若二面角的大小為,且為的中點,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)先證明AD⊥平面BCM,再證明平面平面;(2)先分析得到,以O(shè)為原點,以,,的方向為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求直線與平面所成角的正弦值.
(1)證明:因為,所以,
所以.
取BC中點O,連結(jié)DO,AO,所以DO⊥BC,AO⊥BC,
因為,所以BC⊥平面AOD,所以BC⊥AD,
又因為BM⊥AD,,所以AD⊥平面BCM,
所以平面ACD⊥平面BCM.
(2)由(1)知,是二面角D-BC-A的平面角,
所以,
過作交延長線于G,因為BC⊥平面AOD,平面AOD,
所以,
因為,所以平面.
如圖,以O(shè)為原點,以,,的方向為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè) ,則,
又因為,
所以,
在中,,
所以 , ,
所以,
所以,,
設(shè)是平面DCA的法向量,
則即
取,
因為點是線段的中點,所以,
所以 ,
設(shè)直線BM與平面DCA所成角的大小為,則
,
所以直線BM與平面CDA所成角的正弦值為.
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【題目】如圖,已知四棱錐的底面是邊長為1的正方形,底面,且.
(1)若點、分別在棱、上,且,,求證:平面;
(2)若點在線段上,且三棱錐的體積為,試求線段的長.
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【題目】已知拋物線: 的焦點為,圓: ,過作垂直于軸的直線交拋物線于、兩點,且的面積為.
(1)求拋物線的方程和圓的方程;
(2)若直線、均過坐標(biāo)原點,且互相垂直, 交拋物線于,交圓于, 交拋物線于,交圓于,求與的面積比的最小值.
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【題目】設(shè)點,動點滿足,的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過定點作直線交曲線于兩點.設(shè)為坐標(biāo)原點,若直線與軸垂直,求面積的最大值;
(3)設(shè),在軸上,是否存在一點,使直線和的斜率的乘積為非零常數(shù)?若存在,求出點的坐標(biāo)和這個常數(shù);若不存在,說明理由.
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【題目】已知動點是的頂點,,,直線,的斜率之積為.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)設(shè)四邊形的頂點都在曲線上,且,直線,分別過點,,求四邊形的面積為時,直線的方程.
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【題目】已知圓C:x2+y2+x-6y+m=0與直線l:x+2y-3=0.
(1)若直線l與圓C沒有公共點,求m的取值范圍;
(2)若直線l與圓C相交于P、Q兩點,O為原點,且OP⊥OQ,求實數(shù)m的值.
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【題目】如圖,已知三棱臺中,,M是的中點,N在線段上,且,過點的平面把這個棱臺分為兩部分,求體積較小部分與體積較大部分的體積比值.
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【題目】已知橢圓的離心率為,且過點.
(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)四邊形ABCD的頂點在橢圓上,且對角線AC,BD過原點O,設(shè),滿足.
(i)試證的值為定值,并求出此定值;
(ii)試求四邊形ABCD面積的最大值.
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