【題目】已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC，BD過(guò)原點(diǎn)O，設(shè)，滿足.

（i）試證的值為定值，并求出此定值；

（ii）試求四邊形ABCD面積的最大值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(i)為定值0；(ii)最大值為4．

【解析】

試題（Ⅰ）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理成關(guān)于的一元二次方程，利用得出定值；利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，即三角形的底邊，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求其高，進(jìn)而得出面積，理基本不等式求其最值.

試題解析：（Ⅰ）由題意，，又，

解得,

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ） (i) 直線AB的斜率不存在（或AB的斜率為0）時(shí)不滿足

設(shè)直線AB的方程為，設(shè)

聯(lián)立，得

(*)

整理得

所以為定值0.

(ii) 由(i),不妨取,則

設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則

當(dāng)時(shí)(滿足(*)式)取等號(hào).

.

即四邊形ABCD的面積的最大值為4.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形是矩形,平面平面, 為中點(diǎn).

（Ⅰ）求證: 平面;

（Ⅱ）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，面積是面積的兩倍，點(diǎn)在側(cè)棱上.

（1）若，證明：平面平面；

（2）若二面角的大小為，且為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2018年，依托用戶碎片化時(shí)間的娛樂(lè)需求、分享需求以及視頻態(tài)的信息負(fù)載力，短視頻快速崛起；與此同時(shí)，移動(dòng)閱讀方興未艾，從側(cè)面反應(yīng)了人們對(duì)精神富足的一種追求，在習(xí)慣了大眾娛樂(lè)所帶來(lái)的短暫愉悅后，部分用戶依舊對(duì)有著傳統(tǒng)文學(xué)底蘊(yùn)的嚴(yán)肅閱讀青睞有加．

某讀書(shū)APP抽樣調(diào)查了非一線城市M和一線城市N各100名用戶的日使用時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），繪制成頻率分布直方圖如下，其中日使用時(shí)長(zhǎng)不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”．

（1）請(qǐng)?zhí)顚?xiě)以下列聯(lián)表，并判斷是否有99．5%的把握認(rèn)為用戶活躍與否與所在城市有關(guān)？

活躍用戶

不活躍用戶

合計(jì)

城市M

城市N

合計(jì)

（2）以頻率估計(jì)概率，從城市M中任選2名用戶，從城市N中任選1名用戶，設(shè)這3名用戶中活躍用戶的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

（3）該讀書(shū)APP還統(tǒng)計(jì)了2018年4個(gè)季度的用戶使用時(shí)長(zhǎng)y（單位：百萬(wàn)小時(shí)），發(fā)現(xiàn)y與季度（）線性相關(guān)，得到回歸直線為，已知這4個(gè)季度的用戶平均使用時(shí)長(zhǎng)為12.3百萬(wàn)小時(shí)，試以此回歸方程估計(jì)2019年第一季度（）該讀書(shū)APP用戶使用時(shí)長(zhǎng)約為多少百萬(wàn)小時(shí)．

附：，其中．

0.025

0.010

0.005

0.001

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H為PC的中點(diǎn)，M為AH中點(diǎn)，PA=AC=2，BC=1．

（Ⅰ）求證：AH⊥平面PBC；

（Ⅱ）求PM與平面AHB成角的正弦值；

(Ⅲ)在線段PB上是否存在點(diǎn)N，使得MN∥平面ABC，若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)N的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為（）．點(diǎn)在上，，△的周長(zhǎng)為，面積為．

（1）求的方程；

（2）過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓與直線相切，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線 ，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過(guò)，分別作拋物線的切線，，與交于點(diǎn).

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是菱形，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（I）求證：// 平面；

（II）若平面平面，， 求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高二丈，問(wèn)：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹腻涹w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈，上棱長(zhǎng)2丈，高2丈，問(wèn)：它的體積是多少？”（已知1丈為10尺）該鍥體的三視圖如圖所示，則該鍥體的體積為（ ）

A. 12000立方尺B. 11000立方尺

C. 10000立方尺D. 9000立方尺

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