Question

7．若f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x+2）是偶函數(shù)；③當(dāng)0＜x≤2時(shí)，f（x）=log₂₀₁₇x，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，則方程f（x）=-2017在區(qū)間（1，10）內(nèi)的多有實(shí)數(shù)根之和為（　�。�

• A． 0
• B． 10
• C． 12
• D． 24

Answer 1

分析 利用對(duì)稱性和周期性作出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)對(duì)稱性得出零點(diǎn)之和．

解答 解：∵f（x+2）是偶函數(shù)，
∴f（x+2）=f（-x+2），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
又f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x+2）=f（-x+2）=f（x-2），
∴f（x）的周期為4，
作出f（x）在（0，10）上的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）=-2017在（1，10）上有4個(gè)零點(diǎn)，
其中兩個(gè)關(guān)于零點(diǎn)關(guān)于直線x=4對(duì)稱，另兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于直線x=8對(duì)稱，
∴f（x）=-2017在（1，10）上的所有零點(diǎn)之和為4×2+8×2=24．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)周期性與對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．