Question

16．如圖，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEG是平行四邊形，且平面ABCD⊥平面ABEG，AE⊥AB，EF⊥AG于F，設線段CD、AE的中點分別為P、M．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）求證：MP∥平面BCE；
（Ⅲ）若∠EAF=30°，求三棱錐M-BDP和三棱錐F-BCE的體積之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得BC⊥平面ABEG，得到EF⊥BC．再由已知證得EF⊥BE，利用線面垂直的判定可得EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）設線段AB的中點為N，連接MN，PN．由三角形中位線定理可得MN∥BE，PN∥BC，再由面面平行的判定得平面MNP∥平面BCE，得MP∥平面BCE；
（Ⅲ）設正方形ABCD的邊長為a，連接MB，MD，BD，BP，解三角形可得V_M-BDP，同理可得V_F-BCE，則三棱錐M-BDP和三棱錐F-BCE的體積之比可求．

解答 （Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEG，平面ABCD∩平面ABEG=AB，
由ABCD為正方形，得BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABEG，又EF?平面ABEG，
∴EF⊥BC．
又四邊形ABEG為平行四邊形，EF⊥AG，∴EF⊥BE，
又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，
∴EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）證明：設線段AB的中點為N，連接MN，PN．
∵線段CD、AE的中點分別為P、M，
∴MN∥BE，PN∥BC，則平面MNP∥平面BCE，
故MP∥平面BCE；
（Ⅲ）解：設正方形ABCD的邊長為a，連接MB，MD，BD，BP，
∵∠EAF=30°，則EF=$\frac{1}{2}AE$，∠AEB=30°，
∴BE=2AB=2a，
∴${V}_{M-BDP}=\frac{1}{3}{S}_{△BDP}•AM=\frac{1}{3}•\frac{1}{4}{a}^{2}•\frac{1}{2}AE$=$\frac{1}{24}{a}^{2}•AE$．
同理，連接FB，F(xiàn)C，則${V}_{F-BCE}=\frac{1}{3}{S}_{EBC}•EF$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•a•2a•\frac{1}{2}AE=\frac{1}{6}{a}^{2}•AE$．
∴V_M-BDP：V_F-BCE=1：4．

點評 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了多面體體積的求法，是中檔題．