Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）．
（1）試比較f（-3）與f（-2），f（0）與f（1）的大��；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（只寫結(jié)果，不用證明）
（3）用反證法證明方程f（x）=0沒有負數(shù)根．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（-3），f（-2），f（0），f（1），并根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較f（-3）與f（-2），f（0）與f（1）的大小；
（2）求f′（x），并判斷f′（x）的符號，從而寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）假設(shè)f（x）有負數(shù)根，也就是存在x＜0，使得ax+

x-2

x+1

=0，然后將該方程變成：ax=

2-x

x+1

，由0＜a^x＜1便得到0＜

2-x

x+1

＜1，解該不等式得到的x的范圍應(yīng)該和x＜0矛盾，從而說明假設(shè)不成立．

解答： 解：（1）f（-3）=a-3+

5

2

，f（-2）=a^-2+4；
∵a＞1；
∴a^-3＜a^-2，

5

2

＜4；
∴f（-3）＜f（-2）；
同理可得f（0）＜f（1）；
（2）f′（x）=axlna+

3

(x+1)2

＞0；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（-1，+∞）；
（3）證明：假設(shè)f（x）=0有負數(shù)根；
即存在x＜0，使ax+

x-2

x+1

=0成立；
∴ax=

2-x

x+1

；
∵0＜a^x＜1；
∴0＜

2-x

x+1

＜1，解得

1

2

＜x＜2，與x＜0矛盾；
∴假設(shè)不成立；
即方程f（x）=0沒有負數(shù)根．

點評：考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求導(dǎo)數(shù)，并判斷導(dǎo)數(shù)符號從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，以及利用反證法證明問題時找矛盾的方法與過程．