Question

如圖，四邊形 ABCD 為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD，
（1）證明：PQ⊥平面DCQ；  
（2）求四面體P一DCQ的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由條件知PDAQ為直角梯形，因為QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理可得DC⊥平面PDAQ，進而PQ⊥DC，由勾股定理可得PQ⊥DQ，最后由線面垂直的判定定理可得答案；
（2）設(shè)AB=a，由（1）知PQ為棱錐P-DCQ的高，求出棱錐的底面面積，可得四面體P一DCQ的體積．

解答： 證明：（1）由條件知PDAQ為直角梯形，
∵QA⊥平面ABCD，QA?平面PDAQ，
∴平面PDAQ⊥平面ABCD，
又∵平面PDAQ∩平面ABCD=AD
四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，
∴DC⊥平面PDAQ，
∵PQ?平面PDAQ，
∴PQ⊥DC
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=

2

2

PD，則PQ⊥DQ，
又DQ∩DC=D，DQ，DC?平面DCQ
∴PQ⊥平面DCQ；
解：（2）設(shè)AB=a，由（1）知PQ為棱錐P-DCQ的高而PQ=

2

a．
△DCQ的面積為

2

2

a2．
所以棱錐P-DCQ的體積V=

1

3

a³

點評：本題考查空間中線面垂直的判定方法，考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直，注意步驟的規(guī)范性，考查學生對錐體的體積的計算方法的認識，考查學生的幾何計算知識．