Question

5．f（x）=cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點（$\frac{4π}{3}$，0）成中心對稱，且-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，則函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{3}$）為奇函數(shù)（“奇函數(shù)”“偶函數(shù)”或“非奇非偶函數(shù)”），且單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z．

Answer 1

分析 由題意根據(jù)余弦函數(shù)的圖象的對稱性求得φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用誘導(dǎo)公式求得f（x+$\frac{π}{3}$）的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，求得函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{3}$）的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：∵f（x）=cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點（$\frac{4π}{3}$，0）成中心對稱，且-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴2•$\frac{4π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即φ=-$\frac{π}{6}$，f（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）．
則函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{3}$）=cos[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-sin2x，為奇函數(shù)．
再令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
可得函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{3}$）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z，
故答案為：奇；[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于中檔題．