Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{5}$，且當(dāng)n＞1，n∈N^*時(shí)，有a_n-1-a_n-4a_n-1•a_n=0．
（1）求證：數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$為等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：${S_n}＜\frac{1}{20}$．

Answer 1

分析 （1）通過將a_n-1-a_n=4a_n-1•a_n兩邊同時(shí)除以a_n-1•a_n、進(jìn)而可知數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首項(xiàng)為5、公差為4的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{4n+5}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加放縮可得結(jié)論．

解答 證明：（1）因?yàn)閍_n-1-a_n-4a_n-1•a_n=0，
所以a_n-1-a_n=4a_n-1•a_n，
兩邊同時(shí)除以a_n-1•a_n得：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=4，
又因?yàn)?\frac{1}{{a}_{1}}$=5，
所以數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首項(xiàng)為5、公差為4的等差數(shù)列，
所以$\frac{1}{{a}_{n}}$=5+4（n-1）=4n+1，
所以a_n=$\frac{1}{4n+1}$；
（2）由（1）可知b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{4n+1}$•$\frac{1}{4n+5}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{4n+5}$），
所以S_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{4n+5}$）=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{4n+5}$）＜$\frac{1}{20}$，
即${S_n}＜\frac{1}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．