Question

如圖，已知三棱柱P-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，M是BC的中點(diǎn)．
（1）求證；A₁B∥平面AMC₁；
（2）求直線CC₁與平面AMC₁所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明線面平行，可以利用線面平行的判定定理，只要證明 A₁B∥OM可；
（2）可判斷BA，BC，BB₁兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求得平面AMC₁的法向量、直線CC₁的闡釋，向量，代入向量夾角公式，可求直線CC₁與平面AMC₁所成角的正弦值．

解答： （1）證明：連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)O，連接OM．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴四邊形ACC₁A₁為矩形，O為A₁C的中點(diǎn)．
又∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，
∴OM為△A₁BC中位線，
∴A₁B∥OM，
∵OM?平面AMC₁，A₁B?平面AMC₁，
∴A₁B∥平面AMC₁．
（2）解：由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，
故BA，BC，BB₁兩兩垂直．可建立如圖空間直角坐標(biāo)系B-xyz．
設(shè)BA=2，則B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C₁（2，0，1），M（1，0，0）．
則

AM

=（1，-2，0），

AC1

=（2，-2，1），
設(shè)平面AMC₁的法向量為

m

=（x，y，z），則有

x-2y=0 2x-2y+z=0

所以取y=1，得

m

=（2，1，-2）．
又∵

CC1

=（0，0，1）
∴直線CC₁與平面AMC₁所成角θ滿足sinθ=

| CC1 • m |

| CC1 || m |

=

2

3

故直線CC₁與平面AMC₁所成角的正弦值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查線面夾角，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定定理，正確運(yùn)用向量的方法解決線面角、線線角．