Question

17．如圖，在△ABC中，M是邊BC上的點(diǎn)，且tan∠BAM=$\frac{1}{3}$，tan∠AMC=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）設(shè)α+β=B（α＞0，β＞0），求$\sqrt{2}$sinα-sinβ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用兩角差的正切函數(shù)公式可求tanB的值，結(jié)合范圍0＜B＜π，可求B的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B=$\frac{3π}{4}$，可得$β=B-α=\frac{3π}{4}-α$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得$\sqrt{2}$sinα-sinβ=sin（α-$\frac{π}{4}$），結(jié)合范圍$0＜α＜\frac{3π}{4}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求其取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）$tanB=tan（∠AMC-∠BAM）=\frac{{-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}}{{1+（-\frac{1}{2}）•\frac{1}{3}}}=-1$，
∵0＜B＜π，
∴$B=\frac{3π}{4}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B=$\frac{3π}{4}$，
∵α+β=B，∴$β=B-α=\frac{3π}{4}-α$，
∴$\sqrt{2}sinα-sinβ=\sqrt{2}sinα-sin（\frac{3π}{4}-α）$
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinα-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosα$=$sin（α-\frac{π}{4}）$，
∵$0＜α＜\frac{3π}{4}$，
∴$-\frac{π}{4}＜α-\frac{π}{4}＜\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜sin（α-\frac{π}{4}）＜1$，
∴$\sqrt{2}sinα-sinβ$的取值范圍是$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角差的正切函數(shù)公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．