Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-kx²（e為自然對數(shù)的底數(shù)），x∈R．
（1）若k=

1

2

，求證：當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）＞1；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，試求k的取值范圍．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把k=

1

2

代入函數(shù)f（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求函數(shù)的最小值；
（2）分離變量，構(gòu)造函數(shù)進行求解．

解答： 解：（1）k=

1

2

時，
f（x）=e^x-

1

2

x²，
f′（x）=e^x-x，
f″（x）=e^x-1，
當(dāng)x＞0時，f″（x）＞0，
∴f′（x）=e^x-x在x∈（0，+∞）上是增函數(shù)，
f′（0）=1＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=e⁰-0=1．
（2）∵函數(shù)f（x）=e^x-kx²在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=e^x-2kx＞0（x＞0），
∴k＜

ex

2x

，
令g（x）=

ex

2x

，
∴g′（x）=

ex(x-1)

2x2

，
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＜0；當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，
∴g（x）≥g（1）=

e

2

，
∴k＜

e

2

．

點評：本題主要考查單調(diào)性的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性進而求函數(shù)的極值和最值．