Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+a在定義域上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x+

1

x

=t，當(dāng)x＞0時(shí)，t≥2；當(dāng)x＜0時(shí)，t≤-2．因此函數(shù)f（x）=x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+a=t²+at+a-2=g（t），（t≥2或t≤-2）在定義域上有零點(diǎn)，等價(jià)于求函數(shù)a=

2-t2

t+1

=g（t）（t≥2或t≤-2）的值域．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：令x+

1

x

=t，當(dāng)x＞0時(shí)，t≥2；當(dāng)x＜0時(shí)，t≤-2．
∴函數(shù)f（x）=x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+a=t²+at+a-2=g（t），（t≥2或t≤-2）在定義域上有零點(diǎn)，
變形為a=

2-t2

t+1

=g（t）（t≥2或t≤-2）．
g′（t）=

-(t+1)2-1

(t+1)2

＜0，
∴g（t）在t≥2或t≤-2單調(diào)遞減．
∴a≤g（2）=-

2

3

，或a≥g（-2）=2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，-

2

3

]∪[2，+∞）．
故答案為：(-∞，-

2

3

]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化方法和換元法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．