Question

已知數(shù)列的首項(xiàng)其中，

令集合.

（I）若，寫出集合中的所有的元素；

（II）若，且數(shù)列中恰好存在連續(xù)的7項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，求的所有可能取值構(gòu)成的集合；

（III）求證：.

Answer 1

解：（I）集合的所有元素為：4,5,6,2,3,1..

（II）不妨設(shè)成等比數(shù)列的這連續(xù)7項(xiàng)的第一項(xiàng)為，

如果是3的倍數(shù)，則；如果是被3除余1，則由遞推關(guān)系可得，所以是3的倍數(shù)，所以；如果被3除余2，則由遞推關(guān)系可得，所以是3的倍數(shù)，所以.

所以，該7項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為.

又因?yàn)?sub>，所以這7項(xiàng)中前6項(xiàng)一定都是3的倍數(shù)，而第7項(xiàng)一定不是3的倍數(shù)（否則構(gòu)成等比數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)數(shù)會(huì)多于7項(xiàng)），

設(shè)第7項(xiàng)為，則是被3除余1或余2的正整數(shù)，則可推得

因?yàn)?sub>，所以或.

由遞推關(guān)系式可知，在該數(shù)列的前項(xiàng)中，滿足小于2014的各項(xiàng)只有：

或,或,

所以首項(xiàng)的所有可能取值的集合為

{,}.        

（III）若被3除余1，則由已知可得,；

若被3除余2,則由已知可得,,；

若被3除余0，則由已知可得,；

所以，

所以

所以，對于數(shù)列中的任意一項(xiàng)，“若，則”.

因?yàn)?sub>，所以.

所以數(shù)列中必存在某一項(xiàng)（否則會(huì)與上述結(jié)論矛盾�。�

若,結(jié)論得證.

若,則；若,則,

所以.