Question

（理）設二面角α-AB-β棱上一點P，DP在α內與AB成45°角，與平面β成30°角，則二面角α-AB-β的度數是

 

．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：

分析：過點D作DO⊥AB交AB于O，過點D作DE⊥平面β于E，設DE=a，則DP=2a，PE=

3

a，DO=PO=

2

a，OE=a，PO⊥OE，又PO⊥AB，DO∩OE=O，從而∠DOE為二面角α-AB-β的大小或二面角的補角的大小，由此能求出二面角α-AB-β的度數．

解答： （理）解：過點D作DO⊥AB交AB于O，
則∠DPB=45°，∠DOB=90°過點D作DE⊥平面β于E
則∠DPE=30°，∠DEP=90°，
設DE=a，
可得：DP=2a，PE=

3

a，DO=PO=

2

a
∵DE⊥平面β，PE?β
∴DE⊥PE，
故OE=

PD2-PE2

=a，
∵OE²+PO²=a²+2a²=3a²，
PE²=3a²，
∴OE²+PO²=PE²，
故PO⊥OE，又PO⊥AB，DO∩OE=O
∴∠DOE為二面角α-AB-β的大小或二面角的補角的大小
∵DE⊥DE，DE=OE，
∴∠DOE=45°，
∴二面角α-AB-β的度數是45°或135°．
故答案為：45°或135°．

點評：本題考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．