Question

6．過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作x軸的垂線，交雙曲線C于M，N兩點，A為左頂點，設∠MAN=θ，雙曲線C的離心力為f（θ），則f（$\frac{2π}{3}$）-f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由丨MF丨=$\frac{^{2}}{a}$，丨AF丨=a+c，tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{丨MF丨}{丨AF丨}$$\frac{\frac{^{2}}{a}}{a+c}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a（a+c）}$=$\frac{c-a}{a}$=e-1，f（θ）=tan$\frac{θ}{2}$+1，代入即可求得答案．

解答 解：由題意可知：離心率e=$\frac{c}{a}$，b²=c²-a²，
丨MF丨=$\frac{^{2}}{a}$，丨AF丨=a+c，離心率e=$\frac{c}{a}$，
∠MAN=θ，則tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{丨MF丨}{丨AF丨}$$\frac{\frac{^{2}}{a}}{a+c}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a（a+c）}$=$\frac{c-a}{a}$=e-1，
∴e=tan$\frac{θ}{2}$+1，
雙曲線C的離心率為f（θ）=tan$\frac{θ}{2}$+1，
f（$\frac{2π}{3}$）-f（$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{π}{3}$+1-（tan$\frac{π}{6}$+1）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，考查數形結合思想，屬于基礎題．