Question

14．將函數f（x）=2sinxcosx的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位，再向上平移1個單位，得到g（x）的圖象．若f（x₁）g（x₂）=2，則|2x₁+x₂|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根據題意求得f（x）、g（x）的解析式，由f（x₁）g（x₂）=2，求得sin2x₁=1，且sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）+1=2，即 2x₁=2 kπ+$\frac{π}{2}$，x₂=nπ+$\frac{π}{6}$，從而求得|2x₁+x₂|的最小值．

解答 解：將函數f（x）=2sinxcosx=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位，可得y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再向上平移1個單位，得到g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1的圖象．
若f（x₁）g（x₂）=2，則f（x₁）=1，且g（x₂）=2，sin2x₁=1，且sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）+1=2，
即2x₁=2kπ+$\frac{π}{2}$，2x₂+$\frac{π}{6}$=2nπ+$\frac{π}{2}$，k、n∈Z，
即 2x₁=2 kπ+$\frac{π}{2}$，x₂=nπ+$\frac{π}{6}$，
∴|2x₁+x₂|的最小值為|$\frac{π}{2}$-$\frac{5π}{6}$|=$\frac{π}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，函數圖象的變換，三角函數的圖象和性質，難度中檔．