Question

7．若函數(shù)$y=ln（ax+\sqrt{{x^2}+1}）（a＞0）$為奇函數(shù)，設變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{x-y-2≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$，則目標函數(shù)z=ax+2y的最小值為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，再由函數(shù)為奇函數(shù)求得a值，代入目標函數(shù)，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{x-y-2≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

∵函數(shù)$y=ln（ax+\sqrt{{x^2}+1}）（a＞0）$為奇函數(shù)，
∴l(xiāng)n（$ax+\sqrt{{x}^{2}+1}$）+ln（-$ax+\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln（x²+1-a²x²）=0，
又a＞0，得a=1．
∴目標函數(shù)z=ax+2y=x+2y，化為y=$-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$．
由圖可知，當直線y=$-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為3．
故選：B．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．