17.已知a=$\frac{2}{π}\int_{-1}^1{(\sqrt{1-{x^2}}+sinx)dx}$,則二項(xiàng)式${(x-\frac{a}{x^2})^9}$的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-84.

分析 根據(jù)定積分求出a的值,再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

解答 解:a=$\frac{2}{π}\int_{-1}^1{(\sqrt{1-{x^2}}+sinx)dx}$
=$\frac{2}{π}$${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx+$\frac{2}{π}$${∫}_{-1}^{1}$sinxdx
=$\frac{2}{π}$×$\frac{1}{2}$arcsinx${|}_{-1}^{1}$-$\frac{2}{π}$cosx${|}_{-1}^{1}$
=$\frac{2}{π}$×$\frac{1}{2}$×π
=1,
∴二項(xiàng)式${(x-\frac{a}{x^2})^9}$=${(x-\frac{1}{{x}^{2}})}^{9}$,
其展開(kāi)式通項(xiàng)公式為:
Tr+1=${C}_{9}^{r}$•x9-r•${(-\frac{1}{{x}^{2}})}^{r}$
=(-1)r•${C}_{9}^{r}$•x9-3r,
令9-3r=0,解得r=3,
∴展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為
T4=(-1)3•${C}_{9}^{3}$=-84.
故答案為:-84.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分與二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式應(yīng)用問(wèn)題,是綜合題.

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