Question

8．如圖所示，MA⊥平面ABCD，底面ABCD邊長(zhǎng)為1的正方形，MA=2AB，P是MC上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{CM}$
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（2）求證：MB⊥DP．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AM為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，能求出點(diǎn)P坐標(biāo)．
（2）求出$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{DP}$，由∴$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{DP}$=0，能證明MB⊥DP．

解答 解：（1）∵M(jìn)A⊥平面ABCD，底面ABCD邊長(zhǎng)為1的正方形，
∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AM為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵M(jìn)A=2AB，P是MC上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{CM}$，
∴C（1，1，0），M（0，0，2），設(shè)P（a，b，c），
則由$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{CM}$，得（a-1，b-1，c）=（-$\frac{1}{5}$，-$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=-\frac{1}{5}}\\{b-1=-\frac{1}{5}}\\{c=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{4}{5}$，b=$\frac{4}{5}$，c=$\frac{2}{5}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（$\frac{4}{5}，\frac{4}{5}，\frac{2}{5}$）．
證明：（2）B（1，0，0），D（0，1，0），
$\overrightarrow{MB}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{DP}$=（$\frac{4}{5}$，-$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$），
∴$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{DP}$=$\frac{4}{5}+0-\frac{4}{5}$=0，
∴MB⊥DP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查線線垂直的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．