Question

【題目】已知拋物線，在x軸正半軸上任意選定一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作與x軸垂直的直線交C于P，O兩點(diǎn).

（1）設(shè)，證明：拋物線在點(diǎn)P，Q處的切線方程的交點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)；

（2）通過(guò)解答（1），猜想求過(guò)拋物線上一點(diǎn)（不為原點(diǎn)）的切線方程的一種做法，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求拋物線在點(diǎn)P、Q處的切線方程，然后求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得證；

（2）先由（1）猜想切線方程為直線，再利用導(dǎo)數(shù)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程即可得證.

（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，

由得，

故或，

所以在點(diǎn)P處的切線方程為，

即，

在點(diǎn)Q處的切線方程為，

即，

由得交點(diǎn)，

所以交點(diǎn)N與M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng).

（2）過(guò)點(diǎn)作與x軸垂直的直線交x軸于點(diǎn)，

作點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，

猜想切線方程為直線，

即，其中,

由得，

或,

所以在點(diǎn)處的切線斜率為或,

故點(diǎn)處的切線方程為:

或,

由得或,

所以在點(diǎn)處切線方程為,

整理得，

即.