Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+lnx，g（x）=

1

2

bx²-2x+2，a，b∈R．
（Ⅰ）記函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），當a=0，h（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）記函數(shù)F（x）=|f（x）|，若存在一條過原點的直線l與y=F（x）的圖象有兩個切點，求a的取值范圍，并證明你的結論．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）a=0時求出h（x）的導數(shù)，由h（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，得h′（x）=0，即p（x）=bx²-2x+1在（0，1）上有且只有一個零點，解得b的取值范圍．
（Ⅱ）確定函數(shù)的單調性，討論可得只有0＜a＜

1

e

時直線l與y=F（x）的圖象有兩個切點．設切點的橫坐標分別為s、t且s＜t，可得l與y=F（x）的圖象有兩個切點分別為直線l與曲線y₁=-

a

x

-lnx，x∈（s，t）和y₂=

a

x

+lnx，x∈（t，+∞）在x∈（t，+∞）的切點．由此結合直線的斜率公式和導數(shù)的幾何意義列出關于a、x₁、y₁、x₂、y₂的關系式，化簡整理可得

2(x12-x22)

x12+x22

=ln

x1

x2

，再令

x1

x2

=k（0＜k＜1），轉化為（k²+1）lnk=2k²-2．令G（k）=（k²+1）lnk-2k²+2，（0＜k＜1），由根的存在性定理證出：存在k₀∈（0，1），使得G（k₀）=0．由此即可得到原命題成立．

解答： 解：（Ⅰ）a=0時，h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

bx²-2x+2+lnx，
∴h′（x）=

bx2-2x+1

x

，
∵h（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，
由h′（x）=0，得bx²-2x+1=0；
設p（x）=bx²-2x+1，
即p（x）在（0，1）上有且只有一個零點，且p（0）•p（1）＜0，
即（b×0²-2×0+1）（b×1²-2×1+1）＜0，
解得b＜1；
∴h（x）在（0，1）上有且只有一個極值點時，b＜1；
∴b的取值范圍是{b|b＜1}．
（Ⅱ）因為f'（x）=

x-a

x2

，
①若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
②若a＞0，令f'（x）=0，得x=a，
當0＜x＜a時，f'（x）＜0；當x＞a時，f'（x）＞0．
所以（0，a）為單調減區(qū)間，（a，+∞）為單調增區(qū)間．
綜上可得，當a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，a＞0時，函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為（0，a），單調增區(qū)間為（a，+∞）． 
當（i）若a≤0，則f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上為單調增函數(shù)，
所以直線l與y=F（x）的圖象不可能有兩個切點，不合題意．
（ⅱ）若a＞0，f（x）在x=a處取得極值f（a）=1+lna．
若1+lna≥0，a≥

1

e

時，由圖象知不可能有兩個切點．
故0＜a＜

1

e

，設f（x）圖象與x軸的兩個交點的橫坐標為s，t（不妨設s＜t），
則直線l與y=F（x）的圖象有兩個切點即為直線l與y₁=-

a

x

-lnx，x∈（s，t）和y₂=

a

x

+lnx，x∈（t，+∞）的切點．
y₁′=

a-x

x2

，y₂′=-

a-x

x2

，
設切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則0＜x₁＜x₂，且

a-x1

x12

=

y1

x1

=-

a

x12

-

lnx1

x1

，

a-x2

x22

=

y2

x2

=

a

x22

+

lnx2

x2

，
∴

2a

x1

=1-lnx₁…①；

2a

x2

=1-lnx₂…②；a=

x1x2(x1+x2)

x12+x22

，③
①-②得：

2a

x1

-

2a

x2

=-lnx₁+lnx₂=-ln

x1

x2

，
由③中的a代入上式化簡可得：

2(x12-x22)

x12+x22

=ln

x1

x2

，
令

x1

x2

=k（0＜k＜1），則（k²+1）lnk=2k²-2，令G（k）=（k²+1）lnk-2k²+2，（0＜k＜1），
因為G（

1

e

）=1-

3

e2

＞0，G（

1

e2

）=-

4

e4

＜0，
故存在k₀∈（0，1），使得G（k₀）=0，
即存在一條過原點的直線l與y=F（x）的圖象有兩個切點時，0＜a＜

1

e

．

點評：本題給出含有分式和對數(shù)的基本初等函數(shù)，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間、討論函數(shù)f（x）+g（x）的極值點并證明了函數(shù)|f（x）|圖象與過原點的直線相切的問題．著重考查了基本初等函數(shù)的性質、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、直線的斜率公式和用導數(shù)求函數(shù)圖象的切線等知識，屬于難題．