Question

函數(shù)f（x）=

log2x-1

log2x+1

，若f（x₁）+f（2x₂）=1（其中x₁、x₂均大于2），則f（x₁x₂）的最小值為（　�。�

• A、

  3

  5

• B、

  2

  3

• C、

  4

  5

• D、

  5- 5

  4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，再化簡(jiǎn)f（x₁）+f（2x₂）=1，又由x₁、x₂均大于2知，log₂2x₁，log₂4x₂＞0，從而構(gòu)造應(yīng)用基本不等式求最值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

log2x-1

log2x+1

=1-

2

log2x+1

=1-

2

log22x

，
∴f（x₁）+f（2x₂）=2-2（

1

log22x1

+

1

log24x2

）=1，
則

1

log22x1

+

1

log24x2

=

1

2

，
∵f（x₁x₂）=1-

2

log22x1x2

，
∵2+log₂2x₁x₂=log₂2x₁•4x₂=log₂2x₁+log₂4x₂
=2（log₂2x₁+log₂4x₂）•（

1

log22x1

+

1

log24x2

）
=2（2+

log22x1

log24x2

+

log24x2

log22x1

）≥2•4=8；
（當(dāng)且僅當(dāng)x₁=2x₂時(shí)，等號(hào)成立）
∴l(xiāng)og₂2x₁x₂≥6．
則f（x₁x₂）=1-

2

log22x1x2

≥1-

2

6

=

2

3

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算，對(duì)數(shù)函數(shù)的化簡(jiǎn)，及基本不等式的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．