Question

15．已知圓C：x²+y²-6x-2y-6=0，其中C為圓心．
（I）若過點(diǎn)P（1，0）的直線l與圓C交于M、N兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=-8，求直線l的方程；
（II）過點(diǎn)P（1，0）作圓C的兩條弦BD、EF使得$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{EF}$=0，求四邊形BEDF面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，驗(yàn)證直線斜率不存在時(shí)成立，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，把數(shù)量積轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，代入點(diǎn)到直線的距離公式求得k值，則答案可求；
（Ⅱ）設(shè)圓心到BD、EF的距離分別為d₁、d₂，則 d₁²+d₂²=5，代入面積公式S=$\frac{1}{2}$BD•EF，使用基本不等式求出四邊形BEDF的面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）化圓C：x²+y²-6x-2y-6=0為（x-3）²+（y-1）²=16，
可得圓C的圓心坐標(biāo)為C（3，1），半徑為4，如圖，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，得M（1，1-$2\sqrt{3}$），N（1，1+$2\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{CM}=（-2，-2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{CN}=（-2，2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=-8，符合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，直線l的方程為y=k（x-1），
由$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=-8，得$|\overrightarrow{CM}||\overrightarrow{CN}|•cos∠MCN={r}^{2}cos∠MCN=-8$，
即$cos∠MCN=-\frac{1}{2}$，∴∠MCN=120°，
∴圓心C到直線l的距離為d=rsin30°=4×$\frac{1}{2}=2$．
則$\frac{|3k-1-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，解得：k=-$\frac{3}{4}$．
∴直線l的方程為y=$\frac{3}{4}（x-1）$，即3x-4y-3=0．
綜上，所求直線l的方程為：x=1和3x-4y-3=0；
（Ⅱ）設(shè)圓心C到BD、EF的距離分別為d₁、d₂，則d₁²+d₂²=CP²=5．
四邊形BEDF的面積為：
S=$\frac{1}{2}$×|BD||EF|=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{16-{escg6q0_{1}}^{2}}$×$2\sqrt{16-{wwgeokw_{2}}^{2}}$
=2$\sqrt{16-{ocaksem_{1}}^{2}}\sqrt{16-{akk2c4o_{2}}^{2}}$≤32-（d₁²+d₂²）=27．
當(dāng)且僅當(dāng)d₁²=d₂²時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，把平面向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．