Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）求證：對于任意，存在實數(shù)，當(dāng)時，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．可得當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令求得值，把定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號，可得原函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由恒成立，通過分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化成不等式恒成立，設(shè)，通過導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性，進而得出的最大值，即可求出a的取值范圍；

（3）由（1）可知當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，再分類討論：①當(dāng)時，當(dāng)時，，此時取；②當(dāng)時，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性，可得出時，，此時取，綜合兩種情況，即可證明出.

解：（1），，

①當(dāng)時，恒成立，所以在上為減函數(shù)；

②當(dāng)時，由，得，由，得；

由，得，

所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

（2）由得，，即不等式，恒成立，

記，則，由得，；

由得，；由得，.

所以在為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

所以，所以.

（3）證明：由（1）知，

當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

①當(dāng)，即時，因為在上為增函數(shù)，

又，所以，當(dāng)時，，此時取.

②當(dāng)，即時，

因為，所以，

，令，，則上式，

記，，則，

所以在上為增函數(shù)，所以，即，

因為在上為增函數(shù)，且，

所以當(dāng)時，，此時取.

綜上，對于任意，存在實數(shù)，當(dāng)時，恒成立.