Question

19．已知二項式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開式中所有奇數項的二項式系數之和為512，求二項式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開式的所有有理項．

Answer 1

分析 二項式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開式中所有奇數項的二項式系數之和為512，可得$\frac{1}{2}×{2}^{n}$=512，解得n．再利用通項公式即可得出．

解答 解：∵二項式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開式中所有奇數項的二項式系數之和為512，
∴$\frac{1}{2}×{2}^{n}$=512，解得n=10．
∴$（\sqrt{x}+\frac{1}{2\root{4}{x}}）^{10}$的通項公式：T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（\sqrt{x}）^{10-r}$$（\frac{1}{2\root{4}{x}}）^{r}$=2^-r${∁}_{10}^{r}$${x}^{5-\frac{3r}{4}}$．（r=0，1，2，…，10）．
∵5-$\frac{3r}{4}$∈Z，∴r=0，4，8，
∴所有有理項為T₁=${∁}_{10}^{0}×{2}^{0}×{x}^{5}$=x⁵，T₅=${∁}_{10}^{4}×{2}^{-4}×{x}^{2}$=$\frac{105}{8}{x}^{2}$，T₉=${∁}_{10}^{8}$×2^-8×x^-1=$\frac{45}{256x}$．

點評 本題考查了二項式定理的性質及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．