【題目】已知a,b是正實數(shù),設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=﹣a+xlnb.
(Ⅰ)設(shè)h(x)=f(x)﹣g(x),求h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在x0 , 使x0∈[ , ]且f(x0)≤g(x0)成立,求 的取值范圍.
【答案】解:(1)∵h(x)=f(x)﹣g(x)=xlnx+a﹣xlnb
∴h′(x)=lnx+1﹣lnb
由h′(x)>0得x> ,
∴h(x)在(0, )上單調(diào)遞減,( ,+∞)上單調(diào)遞增.
2)由 < 得 <7
(i)當 ≤ ≤ ,即 ≤ ≤ 時,
h(x)min=h( )=﹣ +a
由﹣ +a≤0得 ≥e,
∴e≤ ≤
(ii)當 < 時,a>
∴h(x)在[ , ]上單調(diào)遞增.
h(x)min=h( )= (ln ﹣lnb)+a≥ (ln ﹣lnb)+a= > = b>0
∴不成立
(iii)當 > ,即 > 時,a< b
h(x)在[ , ]上單調(diào)遞減.
h(x)min=h( )= (ln ﹣lnb)+a< (ln lnb)+a= < = <0
∴當 > 時恒成立
綜上所述,e≤ <7
【解析】(I)根據(jù)已知求出h(x)=f(x)﹣g(x)的解析式,求出其導(dǎo)函數(shù),分別求出導(dǎo)函數(shù)為正,為負時x的取值范圍,進而可得h(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)根據(jù)區(qū)間的定義可得 < ,由f(x0)≤g(x0),結(jié)合(I)中函數(shù)的單調(diào)性,分類討論,最后綜合討論結(jié)果,可得 的取值范圍.
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
極坐標系中, 為極點,半徑為2的圓的圓心坐標為.
(1)求圓的極坐標方程;
(2)設(shè)直角坐標系的原點與極點重合, 軸非負關(guān)軸與極軸重合,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),由直線上的點向圓引切線,求切線長的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如果函數(shù)f(x)在[a,b]上存在x1 , x2(a<x1<x2<b)滿足 , ,則稱函數(shù)f(x)是[a,b]上的“雙中值函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x3﹣x2+a是[0,a]上的“雙中值函數(shù)”,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.
B.( )
C.( ,1)
D.( ,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分16分)如圖,有一個長方形地塊ABCD,邊AB為2km, AD為4 km.,地塊的一角是濕地(圖中陰影部分),其邊緣線AC是以直線AD為對稱軸,以A為頂點的拋物線的一部分.現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線AC上一點P的直線型隔離帶EF,E,F(xiàn)分別在邊AB,BC上(隔離帶不能穿越濕地,且占地面積忽略不計).設(shè)點P到邊AD的距離為t(單位:km),△BEF的面積為S(單位: ).
(1)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;
(2)是否存在點P,使隔離出的△BEF面積S超過3 ?并說明理由.
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【題目】如圖,在正四棱錐S﹣ABCD中,E,M,N分別是BC,CD,SC的中點,動點P在線段MN上運動時,下列四個結(jié)論中恒成立的個數(shù)為( )
(1)EP⊥AC;
(2)EP∥BD;
(3)EP∥面SBD;
(4)EP⊥面SAC.
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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【題目】已知集合P={x|x2>2},Q={0,1,2,3},則(RP)∩Q=( )
A.{0,1}
B.{0}
C.{2,3}
D.{1,2,3}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C的圓心是直線x﹣y+1=0與x軸的交點,且圓C與(x﹣2)2+(y﹣4)2=9相外切,若過點P(﹣1,1)的直線l與圓C交于A,B兩點,當∠ACB最小時,弦AB的長為( )
A.4
B.
C.2
D.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1B1=A1C1 , D,E分別是棱BC,CC1上的點(點D 不同于點C),且AD⊥DE,F(xiàn)為B1C1的中點.求證:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直線A1F∥平面ADE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】分別根據(jù)下列條件,求圓的方程:
(1)過兩點(0,4),(4,6),且圓心在直線x﹣2y﹣2=0上;
(2)半徑為 ,且與直線2x+3y﹣10=0切于點(2,2).
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