Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-9x-1（a＜0），若曲線y=f（x）在各點(diǎn)處的切線斜率的最小值是-12，求：
（1）a的值；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a的方程，解出即可；
（2）解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）f'（x）=3x²+2ax-9，
函數(shù)的對(duì)稱軸是x=-$\frac{a}{3}$，開口向上，
故當(dāng)$x=-\frac{a}{3}$時(shí)，f'（x）取得最小值，故$f'（{-\frac{a}{3}}）=-12$，
解得a=-3（正舍）；         
（2）由（1）得f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
故函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞），減區(qū)間為（-1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的極值的意義，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．