試題分析:(1)將點
代入拋物線的方程即可求出
的值;(2)解法1是先設(shè)點
、
的坐標(biāo)分別為
、
,將直線
的方程與拋物線
的方程聯(lián)立求出
、
的坐標(biāo),并求出
、
的直線方程,與直線
的方程聯(lián)立求出
、
的坐標(biāo),利用兩點間的距離公式列等式求出
的值,從而求出直線
的方程;解法2是設(shè)直線
的方程為
,點
的坐標(biāo)為
,分別將直線
的方程與拋物線和直線
的方程求出點
、
的坐標(biāo),然后設(shè)直線
的方程為
,利用同樣的方法求出點
、
的坐標(biāo),利用點
、
都在直線
上,結(jié)合兩點連線的斜率等于
值以及點
在直線
得到
、
與
之間的等量關(guān)系,然后再利用兩點間的距離公式列等式求出
的值,從而求出直線
的方程;(3)解法1是求出線段
的中點的坐標(biāo),然后寫出以
為直徑的圓的方程,結(jié)合韋達定理進行化簡,根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點求出定點的坐標(biāo);解法2是設(shè)
為以
為直徑的圓上的一點,由
得到以
為直徑的圓的方程,然后圓的方程的結(jié)構(gòu)特點求出定點的坐標(biāo).
試題解析:(1)
點
在拋物線
上,
.
第(2)、(3)問提供以下兩種解法:
解法1:(2)由(1)得拋物線
的方程為
.
設(shè)點
、
的坐標(biāo)分別為
、
,依題意,
,
,
由
消去
得
,
解得
.
,
,
直線
的斜率
,
故直線
的方程為
.
令
,得
,
點
的坐標(biāo)為
.
同理可得點
的坐標(biāo)為
.
.
,
.
由
,得
,
解得
,或
,
直線
的方程為
,或
.
(3)設(shè)線段
的中點坐標(biāo)為
,
則
.
而
,
以線段
為直徑的圓的方程為
.
展開得
.
令
,得
,解得
或
.
以線段
為直徑的圓恒過兩個定點
、
.
解法2:(2)由(1)得拋物線
的方程為
.
設(shè)直線
的方程為
,點
的坐標(biāo)為
,
由
解得
點
的坐標(biāo)為
.
由
,消去
,得
,
即
,解得
或
.
,
.
點
的坐標(biāo)為
.
同理,設(shè)直線
的方程為
,
則點
的坐標(biāo)為
,點
的坐標(biāo)為
.
點
、
在直線
上,
.
. 5分
又
,得
,
化簡得
.
,
,
.
.
由
,
得
,
解得
.
直線
的方程為
,或
.
(3)設(shè)點
是以線段
為直徑的圓上任意一點,
則
,
得
,
整理得,
.
令
,得
,解得
或
.
以線段
為直徑的圓恒過兩個定點
、
.