Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到F₁（0，-$\sqrt{3}$）、F₂（0，$\sqrt{3}$）兩點(diǎn)的距離之和等于4．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)k為何值時(shí)|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{AB}$|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）此時(shí)|$\overrightarrow{AB}$|的值是多少？

Answer 1

分析 （1）橢圓橢圓的定義得出點(diǎn)P的軌跡C是橢圓，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a、b的值即可；
（2）設(shè)出A、B的坐標(biāo)，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式△以及根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出弦長(zhǎng)|$\overrightarrow{AB}$|．

解答 解：（1）由點(diǎn)P到F₁（0，-$\sqrt{3}$ ）、F₂（0，$\sqrt{3}$ ）兩點(diǎn)的距離之和等于4，
結(jié)合橢圓定義知：點(diǎn)P的軌跡為C是“以F₁（0，-$\sqrt{3}$ ）、F₂（0，$\sqrt{3}$）為焦點(diǎn)的橢圓”，
設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{c=\sqrt{3}}\\{{c}^{2}{=a}^{2}{-b}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$；
所以軌跡C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁}），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{4x}^{2}{+y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（k²+4）x²+2kx-3=0，
所以△=（2k）²-4（k²+4）•（-3）=16（k²+3）＞0，
且x₁+x₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=-$\frac{3}{{k}^{2}+4}$，（6分）
y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
由|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{AB}$|得$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
 所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+y₁y₂=-$\frac{3}{{k}^{2}+4}$-$\frac{{3k}^{2}}{{k}^{2}+4}$-$\frac{{2k}^{2}}{{k}^{2}+4+1}$=$\frac{-{4k}^{2}+1}{{k}^{2}+4}$=0；（9分）
解得k=±$\frac{1}{2}$，
x₁+x₂=±$\frac{4}{17}$，x₁x₂=-$\frac{2}{17}$；
所以弦長(zhǎng)|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{17}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義與應(yīng)用問題，也考查了直線方程與橢圓、判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與模長(zhǎng)問題，是綜合性題目．