Question

17．設函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²．
（1）當a=2時，求函數(shù)在x=1處的切線方程；
（2）函數(shù)f（x）在x∈（0，e）時有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（1），f′（1），代入切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，由題意知f′（x）=0在（0，e）內(nèi)有兩個根，令g（x）=lnx-ax+1，即函數(shù)g（x）在（0，e）內(nèi)有兩個零點，求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的零點問題，從而確定a的范圍即可．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=xlnx-x²，所以f（1）=-1，
f′（x）=lnx-2x+1，則f′（1）=-1，
故切線方程為y=-x；
（2）由f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²，則f′（x）=lnx-ax+1，
由題意知f′（x）=0在（0，e）內(nèi)有兩個根，
令g（x）=lnx-ax+1，即函數(shù)g（x）在（0，e）內(nèi)有兩個零點，
而g′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
當a≤0時，g′（x）＞0恒成立，
則g（x）在（0，e）內(nèi)單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；
當0＜a≤$\frac{1}{e}$時，$\frac{1}{a}$≥e，則g′（x）＞0在（0，e）內(nèi)恒成立，
則g（x）在（0，e）內(nèi)單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；
當a＞$\frac{1}{e}$時，則令g′（x）=0，存在x₀=$\frac{1}{a}$（0，e）

x	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，e）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值ln$\frac{1}{a}$	↘

因為g（x）當x→0時，g（x）→-∞，
故函數(shù)g（x）在（0，e）內(nèi)有兩個零點，
只需g（e）=2-ae＜0，$g（\frac{1}{a}）=ln\frac{1}{a}＞0$，
解得$\frac{2}{e}＜a＜1$，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為$（\frac{2}{e}\;，\;1）$．

點評 本題考查函數(shù)的對數(shù)的綜合應用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，構造法的應用，考查分析問題解決問題的能力．